Для того чтобы воспользоваться данной функцией,
необходимо войти или зарегистрироваться.

Закрыть

Войти или зарегистрироваться

Логин:
Пароль:
Забыли свой пароль?
Войти как пользователь:
Войти как пользователь
Вы можете войти на сайт, если вы зарегистрированы на одном из этих сервисов:

Автор: Полозов Андрей Анатольевич

Глава 3. Теоретические основы системы рейтинга

КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ОСНОВА ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ РЕЙТИНГА

Назовем рейтингом смещенный в область целых положительных чисел результат участника всеобщего гипотетического кругового годичного макротурнира. Рассмотренные в Главе 2 принципы дают возможность реализовать это определение.

1. Приоритет гола над очком. Информационной основой рейтинга являются первичные параметры игровой деятельности в виде забитых (З) и   пропущенных (П) мячей, голов, количества реализованных действий и т.п..

2. Выбор вида функциональной зависимости. Выбранная функция должна:

2.1.  Обладать свойством антикоммутативности: F(З,П) = - F(П,З).

2.2.  Работать в избранном числовом интервале, а не по всей шкале.

2.3. Не выходить за пределы четырех действий арифметики и  обеспечить минимальное  число  арифметических действий при пересчете   рейтинга.

2.4. Свести к минимуму суммарную разницу между результатами участников в личной встрече и их общими результатами. Отсутствие этого принципа  ведет к неустойчивому поведению рейтинга.

3. Принцип транзитивности утверждает, что если участник А предпочтительнее участника Б по совокупности результатов, а Б аналогично предпочтительнее С также по всей совокупности зафиксированных в течение года результатов, то уровень А выше, чем уровень С. Он позволяет провести макротурнир без обязательной встречи каждого с каждым. Тем самым создается возможность превратить круговой макротурнир в гипотетический, когда можно играть не все игры. Уровень игры, определенный на основе полученной части результатов, экстраполируют на всю сумму игр. Отсутствие этого принципа означает требование встречи каждого участника макротурнира со всеми остальными, что не имеет перспективы.

4. Принцип трансляции в глубину призван обеспечить неизменность, преемственность способа пересчета рейтинга при переходе с макроуровня на последующие нижележащие слои, от уровня команд на уровень составляющих ее игроков, от уровня игроков — на уровень их базовых компонентов игры, и наоборот. Он предполагает возможность замены нескольких соперников одним, им эквивалентным. Отказ от этого принципа приводит к потере взаимодействия между различными уровнями.

5. Принцип асимптотической устойчивости результатов означает возможность получения единственного решения в распределении рейтингов, исходя из полученных результатов независимо от их исходных значений. Наиболее удобным способом реализации этого принципа является составление и последующее решение соответствующей системы линейных уравнений (далее СЛУ). При неравном нулю определителе СЛУ всегда имеет единственное решение. Отсутствие этого принципа приводит к существованию множества решений при одних и тех же результатах макротурнира, что равносильно отсутствию решения как такового.

6. Средний рейтинг макротурнира задается таким, чтобы рейтинг самого слабого из участников был величиной положительной. Прогресс множества различных участников не бывает синхронным. Средний рейтинг макротурнира корректируется по изменению средней плотности расположения участников на шкале рейтинга, которая возрастает по логистическому типу зависимости на начальном этапе развития вида спорта. Каждому новому участнику присваивается рейтинг, равный среднему рейтингу макротурнира.

7. Факторная компенсация. Существуют факторы (m), влияющие на итоговый результат и создающие неравные условия для участников. Выявление значения любого фактора предполагает сравнение результатов участника до и после его воздействия при нивелировании всех остальных. Компенсация суммы таких независимых, невзаимодействующих факторов должна быть равна сумме их компенсаций. Тогда официальным итогом соревнований будет сумма фактического рейтинга i-го участника и величины компенсаций различных факторов (чужое поле, климат, пол, возраст…):

ОПТИМИЗАЦИЯ  ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ РЕЙТИНГА:

Выбор вида зависимости. Назовем  процентом детерминации  (ПД): 

Используем таблицу кругового  микротурнира в качестве модели этого макротурнира. Сопоставим результаты в личных встречах и показатели общей результативности  в трех видах спорта с различной результативностью.

Подбор функций осуществлялся на основе справочника (Рыбасенко В.Д. и др., 1986); перебором ранее предложенных функций; перебором возможных вариантов наиболее простых конструкций функций через чередование знаков скобок, арифметических действий и забитых (З), пропущенных (П) мячей; пересмотром всех вариантов разложения в ряд элементарных функций. Данные по некоторым видам зависимости приведены в таблице 1. В соответствии с пунктами 2.1–2.4 выберем вид функциональной зависимости иобозначим как Δ:



 

Коэффициент 1000 задает масштаб шкалы рейтинга. Если после решения СЛУ в исходных данных найдены результаты встреч соперников с разницей в полученных рейтингах более 1000 пунктов, то их следует исключить и решить СЛУ заново.

Таблица 1

Процент детерминации для некоторых функций.

 

Вид
функции
Мини-футбол Хоккей Футбол
Чемпионат
России
1993 г.
3 таблицы
по 6 команд
в 3 круга
Чемпионат мира
1994 г.
6 таблиц по 4 команды
в 1 круг

Чемпионат России    1993  г.
1 таблица
12 команд

в 3 круга

Чемпионат
СССР 1990 г.
1 таблица
12 команд

в 3 круга

Чемпионат
России 1993 г.
1 таблица
18 команд

в 2 круга

(З-П)/(З+П)
Таблица  Эло
Ln(З/П)

(З/П)-(П/З)
З-П
З2  - П2
(1/П)-(1/З)
З/П
70.09
70.71
70.71
 
63.64
58.04
16.52
3.55
3.55
-78.17
38.34
37.35
37.35
 
39.62
32.18
25.69
9.88
3.77
-35.53
35.13
29.74
29.74
 
36.89
2.09
8.02
0.44
-36705
-130.05
18.75
9.28
9.28
 
27.94
-21.59
5.69
0.44
-29983
-145.58
-10.46
-15.206
-15.206
 
-3.45
-30.08
4.14
0.35
-12610
-120.04

Трансляция в глубину для найденного вида зависимости. Разность, полученная командой в ходе турнира, накапливается из разностей в текущих n играх:

 З - П = З1-П1 + ... + Зn - Пn

(4)

При этом 

Величина di= (Зi+Пi)/(З+П)– доля участия данного результата в общей оценке. По определению рейтинг — число положительное. Поэтому необходимо смещение вверх по числовой шкале на такую величину, при которой рейтинг самого слабого из участников будет величиной положительной:

 






    

Аналогично рейтинг команды раскладывается на рейтинги ее игроков. Так, при переходе на каждый следующий слой форма пересчета сохраняется.

Формирование системы  линейных уравнений макротурнира. Рассмотрим полностью заполненную таблицу любого произвольного микротурнира.




 








 

Таким образом, общий вид СЛУ таков:

Зачеркнем любую строку, будем считать ее неизвестной. Потерянную информацию можно восстановить по соответствующему столбцу. Это означает, что СЛУ, соответствующая всей таблице, имеет множество решений. Чтобы СЛУ имела единственное решение, необходимо либо заменить в ней любое уравнение некоторым другим, либо просто добавить это уравнение к уже имеющимся. На практике предпочтительнее использовать (n+1) уравнение, определяющее средний рейтинг данного турнира через рейтинги всех (или части) его участников: 

Есть только одно решение СЛУ, полученной после добавления данного (n+1) уравнения к существующим   n.      

Доказательство приведено в тексте диссертации.

Оптимизация пересчета рейтинга. Разобьем макротурнир на два произвольных микротурнира. Найдем из соответствующих им СЛУ рейтинги  участников и объединим результаты на основе принципа трансляции в глубину: 

В тексте диссертации математически доказано, что решения, полученные через решение СЛУ по микротурнирам и объединенные  на основе принципа трансляции в глубину, эквивалентны общему решению СЛУ по всему макротурниру.

В некоторых видах спорта результативность фиксирована. Например, в шахматах: 1:0; 0,5:0,5; 0:1. Если все значения d в СЛУ будут равны (равномерное распределение), то можно получить решения по макротурниру вообще без решения СЛУ. Тогда можно просто подставить (n+1) уравнение во все остальные и тривиально, прямым сложением среднего рейтинга турнира и величины дельта i получить результат конкретного участника. Пусть есть j микротурниров с решением соответствующей СЛУ по i-му игроку в виде Rtij и есть новый j+1 микротурнир с решением Rti(j+1) . Таким образом, задача, ранее считавшаяся «типично нелинейной», стала линейной и допускает тривиальное решение СЛУ (5) в виде уравнения (6), подобного уравнению Эло.

 (6)

ВОЗМОЖНЫЕ ВАРИАНТЫ ПРОВЕДЕНИЯ МАКРОТУРНИРА

Во многих ИВС результат игры складывается не напрямую из баланса забитых (З) и пропущенных (П) мячей, а по совокупности сетов, геймов, партий и т.п. Такая мера помогает искусственно повысить плотность результатов и зрелищность игр. Девальвация фактических результатов не позволяет определить соотношение сил точнее, провести макротурнир за год из-за необходимости восполнения утраченной информации большим числом игр. Поэтому при проведении макротурнира так же ориентируемся на забитые (З) и пропущенные (П) мячи.

Возьмем результаты любого кругового турнира и произвольно исключим некоторую их часть, с таким расчетом, чтобы обозначилась та или иная формула. Оценим степень сходимости результатов кругового макротурнира с результатами на основе выбранной формулы.

Олимпийская формула. Отметим очень широкий диапазон сходимости результатов в зависимости от случайности выбора – от 40 до 60 %. К последней отметке (60 %) он подходил в случаях относительно равномерного рассеивания сильнейших команд.

Смешанная (зонально-олимпийская) формула. Процент соответствия колебался в интервале 70-90 %. Среднее значение составило 82 %.

Круговая формула. Круговую формулу по определению считаем 100 %, хотя более правильно говорить о 95 % из-за погрешности очковой схемы интерпретации.

Швейцарская система и рейтинг-формула.

Рейтинг-формула. На старте макротурнира всем участникам присваивается одинаковый средний рейтинг. После каждого тура следующее значение рейтинга получают как средневзвешенное, пропорциональное результативности. Для того чтобы определить границы микротурнира, произвольно выбирается участник, выписывается круг его соперников, затем выписываются те, с кем они играли, и так далее. Получаем список данного изолированного микротурнира (ИМ). Затем из числа оставшихся участников произвольно выбираем одного и аналогично выясняем круг его ИМ. Каждому участнику назначается наиболее близкий по текущему рейтингу соперник из выбранного противоположного ИМ. При этом происходит полное слияние двух ИМ в один, большей размерности. Если количество участников в таких ИМ неодинаково, то кто-то из них останется без соперника. Его рейтинг по окончании тура изменяется настолько же, насколько в среднем изменился рейтинг всех остальных, играющих в туре его партнеров по ИМ. Турнир завершается слиянием всех ИМ в макротурнир. Полученный в последнем туре рейтинг соответствует двум последним результатам. Чтобы не потерять другие, более ранние достижения, их заново пересчитывают и усредняют по всей сумме результатов (6). Оптимальное число соревнующихся N при числе туров к равно 2К. Рейтинг-формула соблюдает равномерность связей, интервал в 1000 пунктов, учитывает результативность встреч.

Достижения обеих систем оказались близкими к отметке  95 %. Это связано с аналогичностью схемы их действия. Однако если в случае со швейцарской системой данный процент можно считать естественной погрешностью, то у рейтинг-формулы другой характер отклонения.  Для интерпретации результатов используются очки – грубая упрощенная форма рейтинга.

Вопрос о формуле турнира – это чисто расчетный вопрос, который более правильно решать из определения рейтингов участников, их результативности из предыдущих достижений и предположительного расчета сходимости предлагаемой формулы. Она должна изменяться при изменении соотношения сил, плотности результатов, чтобы гарантировать участникам 100% справедливость в распределении мест.

УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОСТИ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ МАКРОТУРНИРА:

  1. Отсутствие изолированных микротурниров.
  2. Исключение из рассмотрения результатов  с разницей Rti – Rtj  ≥   1000.
  3. Макротурнир продолжается до момента стабилизации средней плотности результатов

ρk+1, ≥ ρk, (7)

где к – число туров. Первые туры дают некорректную оценку, которая затем стабилизируется через число туров, большее, чем k ≥ (?n N)/( ?n 2), где N – число участников. При этом следует отметить разницу. В случае решения через СЛУ  плотность результатов в начале из-за минимального числа данных в первых турах достигает максимального значения и потом сокращается. Если определение рейтинга идет по упрощенной формуле, то знак в равенстве меняется на противоположный, поскольку в этом случае всем соревнующимся на старте присваивается равный рейтинг. И только по прошествии какого-то числа игр участники расходятся по полюсам шкалы рейтинга. Поэтому равенство ρkρk+1 отражает момент, когда стартовое значение перестает играть нивелирующую роль.       

4. Погрешность определения рейтинга участника 2000 ⁄ (З+П) должна быть меньше среднего интервала их расположения      


 

5. Результаты округляются до значений, соответствующих плотности.

Назначение игр в рамках макротурнира. Будем рассматривать каждую пару участников, находящихся друг от друга на расстоянии не более чем 1000 пунктов.  Эта пара может быть связана друг с другом некоторым числом n(i) личных встреч (А-Б, i=1), через встречи с третьими участниками (А – С – Б, i=2), через встречи с третьими и четвертыми участниками (А – С – Е – Б, i=3).  Тогда коэффициент их взаимосвязи  К  может быть представлен как:

(9)

Коэффициент К может характеризовать полуизолированные турниры, способствует их выявлению, снижению искажений структуры макротурнира. 

изическим смыслом рейтинга данного участника  можно  считать усредненную по всей совокупности игр текущую или итоговую  сезонную оценку его результатов, экстраполируемых на весь макротурнир. Разница рейтингов  указывает  на результат матча (или серии матчей), если известна его общая  результативность, которая может быть определенаОжидаемый результат встречи  соответствует всей сумме результатов ранее сыгранных матчей. Рейтинг i-го игрока  соответствует   рейтингу  команды,   состоящей  только  из  i-х игроков.

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МАТЧЕЙ. Данная тема была рассмотрена на примере прошедшего в Голландии и Бельгии чемпионата Европы по футболу 2000 года. После того как были определены рейтинги   участников, можно было бы сразу определить результаты их личных встреч:

Rti– Rtj= ? = (З - П) ×1000 / (З + П). (10)

Для этого можно было бы  подставить  на место (З + П) среднюю результативность всех встреч (2,75). Однако более правильно составить еще одну СЛУ с участием результативности (Рез) участников:

где Ni – число матчей, сыгранное i-м участником;  Σ (Зi + Пi) – сумма забитых и пропущенных им мячей во всех матчах; j – все соперники i на данном турнире. Полученные значения результативности (Рез i + Рез j) следует подставить в (10) вместо (З + П). Тогда прогноз встречи будет учитывать результативность обеих команд.  Полученные прогнозы соответствуют среднему уровню выступления команд и всегда вариативно отличаются от конкретных итогов. Они приведены в тексте диссертации. Предполагаемые итоги турнира были определены из той логики, что чемпион – 1, проигравший в финале – 2 и так далее. Примем результаты полученного кругового макротурнира как эталонные и оценим их среднее значение отклонения от  официальных итогов. Оно равно 2,6 места. При 15 участниках такая погрешность (далее - сходимость) составляет 83 %. Это не очень много для рокировок в глубине турнирной таблицы, но на уровне фаворитов турнира  воспринимается весьма болезненно.Вопрос о формуле  турнира – это  вопрос, который более правильно решать из определения рейтингов участников и их результативности из предыдущих достижений и предположительного расчета сходимости предлагаемой формулы. Она должна изменяться при изменении соотношения сил, плотности результатов. Минимальное число матчей предлагаемой формулы должно быть таким, чтобы гарантировать участникам справедливое   распределение мест.

В качестве еще одного ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА приведены рейтинги участников всех прошедших чемпионатов мира по футболу.